Lebenserwartung: Der nächste COVID-19 Kampfplatz – Grundlagen: Wie wird die Lebenserwartung überhaupt berechnet?

Bevor wir uns ins Schlachtengetümmel stürzen, um darüber zu streiten, ob COVID-19 oder die “Schutzimpfung” oder der Lockdown oder andere “Schutzmaßnahmen” die Ursache/n zurückgehender Lebenserwartung ist oder sind, ist es sinnvoll darzulegen, worüber überhaupt gestritten wird, denn wir halten die Wette, dass die wenigsten derjenigen, die derzeit über die Lebenserwartung dozieren, auch nur die Spur einer Ahnung haben, wie die Lebenserwartung überhaupt berechnet wird.

In diesem Post stellen wir dar, wie die Lebenserwartung in Deutschland in der Regel berechnet wird.

Wer sich in den entsprechenden Publikationen des Statistischen Bundesamts oder des Bundesinstitutions für Bevölkerungsforschung umtut, stößt in schöner Regelmäßigkeit auf den Verweis, dass die “Methode von Farr” zur Anwendung komme, wobei das erste Lebensjahr aufgrund hoher Sterblichkeit mit der Methode von “Rahts” berechnet werde. Beide, die Methode Rahts und die von Farr entwickelte, die im Wesentlichen zum Einsatz kommt, kommen ohne Literaturbeleg. Es ist halt die Methode von Farr, die zur Anwendung kommt, oder die von Raths. Vermutlich ist die Tatsache, dass die meisten, die beide im Mund führen, beider Arbeiten nicht zitieren, darauf zurückzuführen, dass beider Methoden wirklich alte Biester sind. Raths hat seine Methode zur Berechnung von Sterberaten 1922 entwickelt:

Rahts, W. (1922) Berechnung der Säuglingssterblichkeit während des Krieges. Bewegung der Bevolkerung in den Jahren 1914 bis 1919. In: Statistik des Deutschen Reichs,
Berlin, Band 276

Die Arbeit von William Farr ist noch älter und nur dem zugänglich, der sich in den Katakomben der British Library auskennt, denn sie stammt aus dem Jahre 1871 und findet sich im Decennial Supplement of the Registrar General for the Decade 1861-70. Es ist somit leichter, die Methode in der von John Brownlee verbesserten Form zu benutzen, wie sie sich im Journal of the Royal Statistical Society von 1920 findet:

Brownlee, John (1920). Density and Death Rate: Farr’s Law. Journal of the Royal Statistical Society 83(2): 280-283.

Bevor wir loslegen ein paar Worte zum Problem: Lebenserwartung ist ein Jahreswert.

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Ein Jahr ist aber nichts, das stillsteht. Leute sterben vom 1. Januar bis zum 31. Dezember, was die Berechnung der Lebenserwartung erschwert und dazu führt, dass man sich mit ein paar statistischen Tricks behelfen muss, z.B. mit Mittelwerten für die Anzahl von Menschen einer Altersgruppe, also z.B. Achtjähriger oder Achtzigjähriger, die das Jahr überlebt haben. Und natürlich hat man das Problem, dass ein Durchschnittswert mit einer Streuung verbunden ist, die man irgendwie in den Griff bekommen muss. Beim Statistischen Bundesamt wird dies dadurch zu leisten versucht, dass die durchschnittliche Anzahl der am Ende eines Jahres Lebenden einer Altersgruppe um die Hälfte der Verstorbenen dieser Altergruppe ergänzt werden [dazu unten mehr], was zu einem letzten Problem führt, denn alle statistischen Methoden basieren auf Annahmen, und Annahmen reduzieren zwangsläufig die Komplexität. Die grundsätzliche Annahme auf der jede Berrechnung der Lebenserwartung basiert, lautet: Über die Monate, Wochen, Tage eines Jahres verteilt, ist die Sterbewahrscheinlichkeit in einer Altersgruppe gleich oder doch weitgehend gleich. Und, einen haben wir noch, um heftige Schwankungen auszuschließen, wird beim Statistischen Bundesamt die Lebenserwartung gemeinhin auf Basis von drei Jahresmittelwerten berechnet. Die durchschnittliche Lebenserwartung 2021 basiert also auf der durchschnittlichen Lebenserwatung der Jahre 2019, 2020 und 2021.

Um die durchschnittliche Lebenserwartung berechnen zu können, ist es zunächst einmal notwendig, die alterspezifische Sterbewahrscheinlichkeit zu berechnen, also die Wahrscheinlichkeit für einen 5jährigen oder einen 10jährigen oder einen 50jährigen oder einen 61jährigen im Beobachtungsjahr, sagen wir 2021, zu versterben. Das erfolgt anhand der folgenden Formel:

qx, die Sterbewahrscheinlichkeit, ergibt sich als Quotient der Anzahl der im Verlauf eines Jahres in einer Altersgruppe Verstorbenen, also z.B. der 17jährigen (a), die im Verlauf des Jahres 2021 (b) verstorben sind [Ma,b, geteilt durch die DURCHSCHNITTLICHE Zahl der am Ende des Jahres Lebenden (b) in der jeweiligen Altersgruppe (a) (Va,b) zu der die Hälfte der in dieser Altersgruppe (a) Verstorbenen des Beobachztungsjahres (b) addiert wird (Ma,b/2).

Mit dieser alterspezifischen Sterbewahrscheinlichkeit qx haben wir einen Wert, der angibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für z.B. einen 18jährigen im Jahr 2021 war, das Jahr nicht zu überleben. Die Sterbewahrscheinlichkeit ist gleichzeitig die Inverse der Überlebenswahrscheinlichkeit px:

qx = 1 – px

Mit der Überlebenswahrscheinlichkeit kann man sich nun ans Werk machen und die Lebenserwartung berechnen, und zwar zunächst dadurch, dass die Anzahl derjenigen berechnet wird, die ein Lebensalter im Beobachtungsjahr überlebt haben (lx), und zwar als Produkt aus der Anzahl derjenigen, die in einer Altersgruppe am Ende eines Jahres noch leben und der Überlebenswahrscheinlichkeit.

lx = lx-1 * px

Auf deren Grundlage kann man nun die Jahre berechnen, die die am Ende eines Jahres in einer Altersgruppe noch lebenden überlebt haben = Lx

Lx = 1/2 (lx + lx+1)

Was uns eigentlich interessiert, das ist die Anzahl der noch zu durchlebenden Jahre (x), der expected Jahre (ex, die sich als Summe der oben berechneten am Ende eines Jahres in den verschiedenen Altersgruppen noch Lebenden ergibt:

Von der Anzahl der noch zu durchlebenden Jahre ex zur Lebenserwartung ab einem bestimmten Alter zu gelangen, ist nun kein Hexenwerk mehr:

Lebenserwartung = ex / lx

Die Lebenswartung eines 20jährigen berechnet sich also auf Basis der Jahre, die die 20jährigen, die das laufende Jahr überlebt haben, noch vor sich haben, dividiert durch die Anzahl der Überlebenden des jeweiligen Alters.

Die Lebenserwartung gibt somit die Anzahl der Jahre an, die eine Person eines bestimmten Alters auf Basis der Sterbewahrscheinlichkeiten, die sich im Datensatz ergeben, NOCH ZU LEBEN HAT. Das, was gemeinhin als Lebenserwartung die Runde macht, 78,9 Jahre für Männer und 83,6 Jahre für Frauen, derzeit, das ist die Lebenserwartung, die ein Neugeborener zu einem bestimmten Zeitpunkt, hier 2021, hat. Erhöht sich die Lebenserwartung eines Neugeborenen, dann bedeutet dies, dass in den Generationen vor ihm im Vergleich zu Vorjahren weniger Menschen verstorben sind, reduziert sich die Lebenserwartung dann bedeutet dies, dass im Vergleich zu Vorjahren mehr Menschen der auf einen Neugeborenen folgenden Altersgruppen verstorben sind. Die Frage, was Ursache der Veränderung der Lebenserwartung ist, ist entsprechend insofern offen, als sowohl eine höhere Sterblichkeit bei Kindern als auch eine bei Mittelalten oder Alten dazu führen kann, dass die Lebenserwartung sinkt.

Mit anderen Worten, wenn man wissen will, warum eine Lebenserwartung gesunken ist, dann muss man wohl oder übel die Sterbtafeln, die Grundlage der Berechung der Lebenserwartung sind, zu Rate ziehen.



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