Reproduktionszahl R – Wie wird sie berechnet? Anders als die meisten denken!

Alle reden von der Reproduktionszahl, nein, nicht alle, die ARD-tagesschau redet von der “Reproduktionsrate”, wie gewöhnlich: uninformiert. Die meisten reden von der Reproduktionszahl, denn das Robert-Koch-Institut hat bekannt gegeben: Sie ist wieder gestiegen, auf den Wert 1,0 – Selbsterhaltung für SARS-CoV-2, also.

Je nach ideologischer Ausrichtung, wird die neue Reproduktionszahl als Unsinn abgelehnt oder als Beleg für falsche Politik gewertet. Gemeinsam ist den meisten, die hier bewerten, die Ahnungslosigkeit darüber, wie die Reproduktionszahl eigentlich berechnet wird.



Der folgende Tweet ist in dieser Hinsicht repräsentativ:

Wie kann die Reproduktionszahl steigen, wenn die Anzahl der Neuinfektionen sinkt?
Ganz einfach – wie jeder spätestens am Ende dieses Textes sagen wird.

Zunächst zu einem wichtigen Unterschied:

  • Die Reproduktionszahl, die das RKI regelmäßig berechnet, ist nicht die Basic Reproduction Number, denn Letztere gibt ZU BEGINN einer Epidemie die erwartete Zahl der Infektionen, die von einem Index-Fall ausgehen, an.
  • Die Reproduktionszahl, die das RKI berechnet, ist eine ZEITABHÄNGIGE REPRODUKTIONSZAHL, die auf Schwankungen in der Anzahl der Neuinfektionen reagiert.

Bleiben wir kurz bei der Basic Reproduction Rate, die wie folgt berechnet wird: [Wer kein Interesse an mathematischen Herleitungen hat, der kann die nächsten Zeilen bis RKI überspringen und den Eindruck mitnehmen, dass nicht alles so einfach ist, wie es der Begriff “Reproduktionszahl” vermittelt.

(1) R0 = τ * c * d,

wobei

τ die Übertragbarkeit als Wahrscheinlichkeit einer Infektion bei Kontakt zwischen einer infizierten und einer nicht-infizieren Person angibt;
c die durchschnittliche Anzahl von Kontakten zwischen infizierten und nicht-infizierten Personen angibt;
d die Zeit, in der ein Infizierter andere anstecken kann, bezeichnet;

Schon dieser kurze Ausflug in die Berechnung der Basic Reproduction Number zeigt, dass die ganze Geschichte nicht so einfach ist, wie manche denken. Ausgehend von dieser kurzen Denotation kann im Rahmen des sogenannten SIR-Modells (Susceptible-Infected-Removed) die Bedingungen für eine Epidemie bestimmt werden.

Dazu benötigt man β, die effektive Kontaktrate zwischen s(nicht Infizierten) und i(Infizierten), die bekannt ist als τc, also Übertragbarkeit mal durchschnittliche Anzahl der Kontakte. Epidemien ergeben sich dann, wenn die Anzahl der Neuinfektionen größer ist als die Anzahl derjenigen, die aus einer VirusPopulation ausscheiden, entweder durch Tod oder Immunität, μ.
Ist eine Epidemie vorhanden, dann muss gelten:

(2) βsi – μi > 0

Eine Epidemie zeichnet sich dadurch aus, dass niemand immun gegen den Erreger ist, also kann s, die Anzahl der potentiell Infizierten der Wert 1 zugewiesen werden, woraus folgt, dass

(3) β/μ = R0 > 1, was im übrigen identisch mit (1) ist, da β definiert ist als τc und die Zahl derer, die aus dem Spiel ausscheiden, eine Funktion der Zeit ist: d = μ-1

QED.



Wie berechnet das RKI die zeitabhängige Reproduktionszahl Rt, von der in Medien (außer der ARD, dort werden Raten nicht Zahlen berichtet) ständig die Rede ist?

Nun zunächst hat das RKI ein Problem.
Alle Daten die beim RKI eingehen, sind zu dem Zeitpunkt, zu dem sie eingehen, veraltet, denn das deutsche System der Übermittlung hat eine Vielzahl von Schnittstellen und an jeder kann ein Infizierter ausscheiden. Die Systematik ist wie folgt:

  • Nicht alle Infizierten zeigen Symptome;
    • Nicht alle Personen, die Symptome entwickeln, gehen zum Arzt;
      • Nicht alle Personen, die mit Symptomen zum Arzt gehen, werden getestet;
      • Nur Personen, die zum Arzt gehen und positiv getestet werden, werden an Gesundheitsämter gemeldet;
        • Aber nicht alle Personen, die positiv getestet werden, werden auch erfasst;

Nimmt man noch die Zeit als Variable hinzu, dann wird das Problem noch größer, denn

  • Es vergeht Zeit zwischen Inkubation und Symptomen;
  • Es vergeht Zeit zwischen Symptomen und Test;
  • Es vergeht Zeit zwischen Testergebnis und Übermittlung an ein Gesundheitsamt;
  • Es vergeht Zeit zwischen der Übermittlung von Testergebnissen vom Gesundheitsamt zur zuständigen Landesbehörde und von da zum RKI;

Mindestens zwei Ebenen könnte man hier ausschalten, um dem RKI zeitnahe Daten zu übermitteln, aber natürlich ist der Daseinszweck von Behörden nicht Effizienz oder nicht mehr, sondern die Legitimation der eigenen Existenz, was voraussetzt, dass man in eine Übermittlungskette, und sei man auch noch so überflüssig, wie Gesundheitsämter und Landesbehörde in diesem Fall, eingeschlossen ist.

Das erste Problem, vor dem das RKI steht, besteht darin, die Zeit, die vergeht, bis ein “aktueller Fall” an das RKI gemeldet wird, hochzurechnen, um Prognosen für die IST-Zeit erstellen zu können. Weil nicht bekannt ist, wie viel Zeit seit der Infektion vergangen ist, ist das Ausgangsdatum der Zeitpunkt der Erkrankung. Vom Zeitpunkt der Erkrankung bis zur Meldung des Erkrankten beim RKI vergehen in 50% der Fälle 7 oder weniger Tage. Das ist der Median der Meldezeit. In den restlichen 50% der Fälle dauert es noch länger als 7 Tage. Ineffizienz mal 2.

Um die zeitliche Verschiebung aus den aktuellen Daten herauszurechnen, betreibt das RKI ein sogenanntes NOWCASTING, wie der Begriff schon sagt, eine Vorhersage der aktuellen Zahlen auf Grundlage der mit einem Zeitverzug von im Median 7 Tagen gemeldeten Daten. Die folgende Abbildung zeigt das Ergebnis eines solchen Nowcastings:


Nun, diese Abbildung könnte man sicher optimieren, denn sie sorgt für viele Probleme, vor allem Verständnisprobleme, wie sie z.B. im oben dargestellten Tweet deutlich werden. Die dunkelblaue Fläche stellt die Daten dar, die mit Erkrankungsbeginn von Gesundheitsämtern an das RKI gemeldet wurden. Sie sinken zum rechten Rand der Abbildung sehr deutlich und man könnte annehmen, dass die Anzahl der Neuinfektionen geringer geworden ist. Das kann man jedoch nicht, denn je weiter nach rechts man in der Abbildung kommt, desto höher wird der Anteil der Fälle, die noch nicht diagnostiziert, getestet oder übermittelt wurden. Das führt zurück zu dem oben beschriebenen ineffizienten Übermittlungssystem, das in 50% der Fälle länger als sieben Tage in Anspruch nimmt, um einen in Tutzing Erkrankten nach Berlin zum RKI zu melden, via Gesundheitsamt und Landesbehörde. Die Abbildung oben ist somit ein Ausschnitt aus einem laufenden Prozess, der in Veränderung begriffen ist. Dem wird mit der hellblauen Fläche Rechnung getragen. Bei dieser Fläche handelt es sich um die vorhergesagten Fälle, die auf Basis von sieben Tages Intervallen versuchen, die LahmarschigkeitLangsamkeit der Datenübertragung zu umgehen und die aktuellen Zahlen hochzurechnen. Zu dieser Hochrechnung gehört auch die Imputation, die grau dargestellte Fläche. Imputierte Werte werden genutzt, wenn die Meldung eines Falles vom Gesundheitsamt KEINEN Krankheitsbeginn enthält, dann wird per Regressionsanalyse ein wahrscheinlicher Wert für den Krankheitsbeginn eingesetzt.

All das, was wir hier beschrieben haben, ist notwendig, um Rzu berechnen, denn Rt baut auf dem Nowcasting, also NICHT AUF DEN BERICHTETEN WERTEN FÜR EINEN TAG auf. Die zeitabhängige Bestimmung der durchschnittlichen Anzahl der Personen, die von einem Infizierten angesteckt werden, erfolgt unter folgenden Annahmen:

  • Zwischen Ansteckung und Beginn der Symptome vergehen im Durchschnitt fünf Tage;
  • Ein Infizierter kann im Durchschnitt bereits zwei Tage bevor er Symptome entwickelt, andere anstecken;
  • Zwischen der Infektion einer Person und der Infektion anderer durch diese Person vergehen vier Tage. Diese Zeitspanne wird als Generation in den Modellen bezeichnet;

Auf dieser Grundlage erfolgt die Berechnung von Rt als schlichte Division zweier aufeinanderfolgender Generationen:

Rt = Anzahl der Neuinfektionen G2 (z.B. Tage 5 bis 8) / Anzahl der Neuinfektionen G(z.B. Tage 1 bis 4)

Ergibt sich ein Wert größer als 1, dann ist die Epidemie in vollem Gange, ist der Wert unter 1 geht sie gehen Garaus.

Die Anzahl der Neuinfektionen, die dem RKI gemeldet werden und die z.B. heute verkündet wird, ist ein Potpourri der unterschiedlichsten Erkrankungszeitpunkte (je nach Meldbehörde liegen die Erkrankungszeitpunkte um bis zu 12 Tage in der Vergangenheit). Nicht alle heute gemeldeten Neuerkrankten sind ZUM SELBEN ZEITPUNKT erkrankt. Um dieses Problem, das sich auch daraus ergibt, dass zu vielen Köche im Meldebrei rühren, zu beherrschen, erfolgt ein Nowcasting, mit dem der aktuelle Stand der Infektionen hochgerechnet wird, und zwar auf Grundlage der Zuordnung der neu gemeldeten Fälle zu ihren jeweiligen Erkrankungszeitpunkten. Die Berechnung von Rt hat somit herzlich wenig mit den Zahlen zu tun, die für heute gemeldet werden.

Nun sollte jeder wissen, warum der Tweet, den wir oben als Beispiel ausgesucht haben, Unfug ist.


Dazu auch: Epidemiologisches Bulletin 17/2020 – 23.- April 2020 des Robert-Koch-Instituts


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